Rabu, 02 September 2015

Makalah Relasi Matematika


Makalah Relasi Matematika
PEMBAHASAN
RELASI
makalah relasi matematika Banyak hal yang dibicarakan berkaitan dengan relasi. Dalam kehidupan sehari-hari kita mengenal istilah relasi bisnis, relasi pertemanan, relasi antara dosen-mahasiswa yang disebut perwalian atau juga perkuliahan, produsen-distributor, distributor-konsumen, dll.
Ada banyak relasi yang mungkin terbentuk antar dua himpunan yang sama, contoh: antara mahasiswa dan mata kuliah, dapat dibentuk relasi pengambilan mata kuliah, bisa juga dibentuk relasi nilai mata kuliah, serta dapat juga dibentuk relasi biaya mata kuliah.
Relasi juga bisa berarti keterhubungan atau keterkaitan antar dua objek atau lebih. Dalam bab ini akan dibicarakan definisi relasi beserta sifat-sifatnya.
1.    Pengertian Relasi
Relasi, adalah hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan yang lain. Cara paling mudah untuk menyatakan hubungan antara elemen 2 himpunan adalah dengan himpunan pasangan terurut. Himpunan pasangan terurut diperoleh dari perkalian kartesian.
Definisi 1:
Perkalian kartesian (Cartesian products) antara himpunan A dan B ditulis: A x didefinisikan sebagai semua himpunan pasangan terurut dengan komponen pertama adalah anggota himpunan A dan komponen kedua adalah anggota himpunan B.
A B}ÎA dan yÎx B = { (x,y) / x
Jika A = {1, 2, 3} dan B = {a, b}, maka AxB = {(1, a), (2, a), (3, a), (1, b), (2, b), (3, b)}
Banyaknya himpunan yang terlibat dalam operasi ini mempengaruhi nama operasinya, jika operasi tersebut hanya melibatkan dua himpunan, disebut operasi biner.
Definisi 2:  
Relasi, dilambangkan dengan huruf besar R. Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B. A disebut daerah asal dari R (domain) dan B disebut daerah hasil (range) dari R.
Contoh 1
Jika A = {1, 2, 3} dan B = {a, b}kita dapat membuat relasi:
R1 = {(1, a), (1, b)}
R2 = {(1, a), (2, a), (3, a)}
R3 = {(1, b), (2, b), (1, a}
R4 = {(1, a), (2, a), (3, a), (1, b), (2, b), (3, b)}
R5 =                                                                           
R6={(a, 1), (2, a)}
Himpunan pasangan terurut R1, R2, R3, R4, R5, merupakan subset dari A x B, dan membentuk suatu relasi, tetapi R 6 bukan relasi dari A x B, karena (a, 1) A x B.
Sebuah pasangan terurut menjadi anggota relasi R1, ditulis: (1, a) R1 atau 1 R1 a. Dan jika (2, a) bukan anggota relasi R1, ditulis:
(2,a) R1 atau 2 R1 a
Definisi 3:
Relasi pada A adalah relasi dari A ke A.
Contoh:
      Misal A                  = {1,2,3}, B = {a,b},
maka :
A x B               = {(1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)}
      Misal P = {2,4,8,9,15}, B = {2,3,4}.
Relasi R dari P ke Q didefinisikan sebagai: (p,q) R jika p habis dibagi q, maka: R = {(2,2), (4,2), (8,2), (9,3), (15,3), (4,4), (8,4)}
Misal R adalah relasi pada A = {2,3,4,8,9} yang didefinisikan oleh (x,y) R jika x adalah factor prima dari y, maka: R = {(2,2), (2,4), (2,8), (3,3), (3,9)}
Jadi dapat disimpulkan, bahwa relasi adalah proposisi yang bernilai benar yang dilambangkan dengan huruf besar R.  Notasi R = (A, B, P (x,y)
2.    Macam-Macam Relasi
a)        Relasi refleksif
Sebuah relasi R dalam A disebut memiliki sifat refleksif, jika dan hanya jika setiap anggota himpunan A berelasi dengan dirinya sendiri.  
\forall_{a \in A}\quad (a,a) \in R
Atau
\forall_{a \in A}\quad a R a
Contoh 1
Misal A = {1,2,3,4} dan relasi R dibawah ini didefinisikan pada A, maka R ={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)}
Contoh 2
Relasi yang memiliki sifat seperti ini adalah relasi “x selalu bersama y.”, dengan x dan y adalah anggota himpunan seluruh manusia. Jelas sekali bahwa setiap orang pasti selalu bersama dengan dirinya sendiri.
b)        Relasi Nonrefleksi
Sebuah relasi R dalam A disebut memiliki sifat nonrefleks, jika dan hanya jika ada anggota himpunan A yang tidak berelasi dengan dirinya sendiri
Contoh:
Misal A = {1,2,3,4} dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada A, maka          R ={(1,1),(2,2),(2,3),(3,3),(4,4)}
c)        Relasi Irrefleksif
Sebuah relasi R dalam A disebut memiliki sifat irrefleksif, jika dan hanya jika setiap anggota himpunan A tidak berelasi dengan dirinya sendiri
\forall_{a \in A}\quad (a,a) \notin R
atau
\forall_{a \in A}\quad \lnot(a R a)
Contoh  1 :
Misal A = {1,2,3,4} dan relasi R dibawah ini didefinisikan pada A, maka             R = {(1,2),(2,3),(3,4),(4,1)}

Contoh  2
Relasi irefleksif adalah relasi “x mampu mencukur rambut y dengan rapi sempurna.”, dengan x dan y adalah setiap pemotong rambut. Diandaikan bahwa setiap orang hanya dapat mencukur rambut orang lain dengan rapi sempurna, maka relasi ini adalah irefleksif, karena tidak ada seorang tukang cukur a yang mampu mencukur rambutnya sendiri.
Contoh lain dalam himpunan bilangan bulat adalah, relasi < dan > adalah irefleksif.
d)        Relasi Simetris
Sebuah relasi R dalam A disebut memiliki sifat simetris, jika dan hanya jika setiap pasangan anggota A berhubungan satu sama lain. Dengan kata lain, jika a terhubung dengan b, maka b juga terhubung dengan a. Jadi terdapat hubungan timbal balik.
\forall_{a, b \in A}\quad (a,b) \in R \rightarrow (b,a) \in R
atau     
\forall_{a, b \in A}\quad a R b \rightarrow b R a
Contoh 1
Misal A = {1,2,3,4} dan relasi R dibawah ini didefinisikan pada A, maka R = {(1,2), (2,3), (3,2), (2,1)}
Contoh 2
Sebuah relasi “x+y genap” adalah relasi simetrik, karena untuk sembarang x dan y yang kita pilih, jika memenuhi relasi tersebut, maka dengan menukarkan nilai y dan x, relasi tersebut tetap dipenuhi.
Misalnya untuk pasangan (5, 3) relasi tersebut dipenuhi, dan untuk (3, 5) juga.
e)        Relasi Nonsimetris
Sebuah relasi R dalam A disebut memiliki sifat nonsimetris, jika dan hanya jika ada 2 anggota himpunan A yang jika a berelasi dengan b tetapi b tidak berelasi dengan a
Contoh:
Misal A = {1, 2 ,3 ,4} dan relasi R dibawah ini didefinisikan pada A, maka R = {(1,2), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1)}
f)          Relasi Asimetris
Sebuah relasi R dalam A disebut memiliki sifat relasi asimetris, jika dan hanya jika ada 2 anggota himpunan A yang jika a berelasi dengan b maka b tidak berelasi dengan a
 
           R = {(1,2), (1,4) ,(2,3) ,(4,3)}
g)        Relasi Antisimetris
Sebuah relasi R dalam A disebut memiliki sifat antisimetris, jika dan hanya jika untuk 2 anggota himpunan A jika (a,b) e A dan (b,a) e B, maka a=b.
Jika setiap a dan b yang terhubung hanya terhubung salah satunya saja (dengan asumsi a dan b berlainan), maka relasi macam ini disebut relasi anti-simetrik.
\forall_{a, b \in A}\quad a \neq b \rightarrow ((a,b) \in R \rightarrow (b,a) \notin R)
atau
\forall_{a, b \in A}\quad a \neq b \rightarrow (a R b \rightarrow \lnot (b R a))
Dalam kebanyakan literatur biasanya ditulis sebagai kontraposisinya seperti di bawah ini. Keuntungan bentuk ini adalah tidak mengandung negasi, dan hanya mengandung satu implikasi.
\forall_{a, b \in A}\quad (a,b) \in R \wedge (b,a) \in R \rightarrow a=b
atau
\forall_{a, b \in A}\quad a R b \wedge b R a \rightarrow a=b
Contoh :
Misal A = {1, 2, 3, 4} dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada A, maka R = { (1,2), (1,4), (2,3), (2,4)}
Relasi \leq bersifat anti-simetrik, karena 5 \leq 6 mengakibatkan \lnot (6 \leq 5). Demikian juga jika ada p dan q yang terhadap mereka berlaku p \leq q dan q \leq p berarti p = q.
h)        Relasi Transitif
Dikatakan relasi Transitif jika dan hanya jika untuk setiap 3 anggota himpunan A, (a,b,c e A) jika a berelasi dengan b, berelasi dengan c maka a juga berelasi dengan c
(a,b) \in R \wedge (b,c) \in R \rightarrow (a,c) \in R
atau
\forall_{a, b, c \in A} {a R b \wedge b R c \rightarrow a R c}


Contoh 1
Relasi dua transitif. Misalnya untuk 5, 6, dan 7, berlaku 5 < 6, 6 < 7, dan 5 < 7.
Contoh 2
Misal A = {1,2,3,4} dan relasi R dibawah ini didefinisikan pada A, maka          R = {(1,2), (2,3), (1,3)}
i)          Relasi Nontransitif
Sebuah relasi R dalam A disebut memiliki sifat nontransitif, jika dan hanya jika untuk ada 3 anggota himpunan A, (a, b, c e A) jika a berelasi dengan b, berelasi dengan c maka a tidak berelasi dengan c
Contoh :
Misal A = {1, 2, 3, 4} dan relasi R dibawah ini didefinisikan pada A, maka       R = {(1,2), (2,3), (3,4)}
j)          Relasi Intransitif
Sebuah relasi R dalam A disebut memiliki sifat intransitif, jika dan  hany jika untuk setiap 3 anggota himpunan A, (a,b,c e A) jika a berelasi dengan b, berelasi dengan c maka a tidak berelasi dengan c

            Misal

 E = {1, 2, 3}

            R = {(1,2), (2,3), (2,5), (3,4), (5,7)}
Relasi di atas bukan intransitif karena :
-.(1,2) e R dan (2,3) e R, tetapi (1,3) e R
-.(1,2) e R dan (2,5) e R, tetapi (1,5) e R
-.(2,3) e R dan (3,4) e R, tetapi (2,4) e R
-.(2,5) e R dan (5,7) e R, tetapi (2,7) e R
Relasi yang intransitif dari himpunan A
R = {(1,2),(2,3),(1,4)}
k)        Relasi Ekuivalen
Sebuah relasi disebut sebagai relasi ekuivalen jika relasi tersebut bersifat:
·            Refleksif
·            Simetrik, dan
·            Transitif
Relasi ekivalen yang memenuhi sifat: refleksif, simetri, dan transitif yang keterangannya di bawah ini:
R = (A, A, P (x,y));
a.    R adalah relasi refleksif, (untuk setiap 1 e A, (a,a) e R)
b.    R adalah relasi simetris, jika (a,b) e R, maka (b,a) e R)
c.    R adalah relasi transitif, jika (a,b) e R, dan (b,c) e R maka (a,c) e R)
Contoh
Misal A = {1, 2, 3} dan relasi R dibawah ini didefinisikan pada A, maka
 R = 
LATIHAN
Jika A = {1, 2, 3, 4}, berikut diberikan relasi atas A:
R1          = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 4)}
R2          = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)}
R3          = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2,2), (3, 3), (4, 1), (4,4)}
R4          = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)}
R5      = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3,4), (4, 4)}
R6          = {(3, 4)}
R7          = {(1, 1)}
R8          = {(1, 1), (1, 2), (3, 4), (4, 3)}
Manakah dari kedelapan relasi di atas yang masing-masing bersifat:reflek sif, simetri, anti simetri, transitif, dan yang bukan simetri sekaligus bukan antisimetri.
Jawab:
Pada relasi-relasi di atas yang bersifat refleksif adalah: R3, dan R5. R1 tidak refleksif karena (3, 3)R1.
Relasi yang bersifat simetri: R2, R3, dan R7.
Relasi yang bersifat antisimetri: R4, R5, R6, dan R7.
Relasi yang bersifat transitif: R5, R6, dan R7.
Relasi yang bukan simetri dan bukan pula antisimetri: R1, dan R8.




Tidak ada komentar:

Poskan Komentar

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...